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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.5. Calcular:
a) $\int 7^{\cos (x)} \sqrt{2} \sin(x) d x$

Respuesta

Vamos a resolver esta integral:

$\int 7^{\cos (x)} \sqrt{2} \sin(x) d x$

Aclaración para acomodar un poco la situación, fijate que ese $\sqrt{2}$ es una constante así que la podemos sacar para la fuera.

$\sqrt{2} \int 7^{\cos(x)} \sin(x) dx$

Tomemos la sustitución $u = \cos(x)$. Entonces tenemos

$u = \cos(x)$
$du = -\sin(x) dx$

Ahora reescribimos la integral en términos de $u$

$ \sqrt{2} \int 7^{\cos(x)} \sin(x) dx = \sqrt{2} \int 7^{u} (-du) = -\sqrt{2} \int 7^{u} du $

Y ahora la integral de $7^{u}$ la integramos así con lo que vimos en el Ejercicio 3.f: $\int 7^{u} du = \frac{7^u}{\ln(7)}$ Así que aplicando esto a nuestra integral nos queda: $-\sqrt{2} \int 7^{u} du = -\sqrt{2} \left( \frac{7^u}{\ln(7)} \right) + C$

Reemplazamos $u$ por $\cos(x)$ para volver a la variable $x$ $-\sqrt{2} \left( \frac{7^{\cos(x)}}{\ln(7)} \right) + C$ Por lo tanto, la integral resuelta es: $\int 7^{\cos(x)} \sqrt{2} \sin(x) dx = -\sqrt{2} \left( \frac{7^{\cos(x)}}{\ln(7)} \right) + C$
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ExaComunidad
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Manuel
7 de octubre 17:01
Hola Flor, una consulta, la integracion de un numero con un x en el exponente puede generalizarse para decir que siempre que tengamos la integral de un n^x el resultado seria n^x/ln(n)? Yo lo que hice cuando resolvi este ejercicio fue sustituir de nuevo cuando llegue a 7^u y arme un quilombo enorme pero al final llegue al mismo resultado 
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Flor
PROFE
8 de octubre 8:40
@Manuel Hola Manuel! Exactooo, pero si lo querés enunciar así generalizado le agregaría siempre y cuando ese $n$ sea distinto de $1$ (porque sino te quedaría $\ln(1) = 0$ en el denominador)

Y de hecho fijate que si lo llevas al caso específico $n = e$ te queda

$\int e^x \, dx = \frac{e^x}{\ln(e)} = e^x$

que es el resultado que conocemos. 

Y por si te quedaste pensando, en el caso $n = 1$ vos tendrías

$\int 1^x \, dx$

Pero 1 elevado a cualquier cosa, es 1... así que esto es simplemente

$\int 1 \, dx$ ;)
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