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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.5. Calcular:
a) ∫7cos⁡(x)2sin⁡(x)dx\int 7^{\cos (x)} \sqrt{2} \sin(x) d x

Respuesta

Vamos a resolver esta integral:

∫7cos⁡(x)2sin⁡(x)dx\int 7^{\cos (x)} \sqrt{2} \sin(x) d x

Aclaración para acomodar un poco la situación, fijate que ese 2\sqrt{2} es una constante así que la podemos sacar para la fuera.

2∫7cos⁡(x)sin⁡(x)dx\sqrt{2} \int 7^{\cos(x)} \sin(x) dx

Tomemos la sustitución u=cos⁡(x)u = \cos(x). Entonces tenemos

u=cos⁡(x)u = \cos(x)
du=−sin⁡(x)dxdu = -\sin(x) dx

Ahora reescribimos la integral en términos de uu

2∫7cos⁡(x)sin⁡(x)dx=2∫7u(−du)= −2∫7udu  \sqrt{2} \int 7^{\cos(x)} \sin(x) dx = \sqrt{2} \int 7^{u} (-du) = -\sqrt{2} \int 7^{u} du 

Y ahora la integral de 7u7^{u} la integramos así con lo que vimos en el Ejercicio 3.f: ∫7udu=7uln⁡(7)\int 7^{u} du = \frac{7^u}{\ln(7)} Así que aplicando esto a nuestra integral nos queda: −2∫7udu=−2(7uln⁡(7))+C-\sqrt{2} \int 7^{u} du = -\sqrt{2} \left( \frac{7^u}{\ln(7)} \right) + C

Reemplazamos uu por cos⁡(x)\cos(x) para volver a la variable xx −2(7cos⁡(x)ln⁡(7))+C-\sqrt{2} \left( \frac{7^{\cos(x)}}{\ln(7)} \right) + C Por lo tanto, la integral resuelta es: ∫7cos⁡(x)2sin⁡(x)dx=−2(7cos⁡(x)ln⁡(7))+C\int 7^{\cos(x)} \sqrt{2} \sin(x) dx = -\sqrt{2} \left( \frac{7^{\cos(x)}}{\ln(7)} \right) + C
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ExaComunidad
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Manuel
7 de octubre 17:01
Hola Flor, una consulta, la integracion de un numero con un x en el exponente puede generalizarse para decir que siempre que tengamos la integral de un n^x el resultado seria n^x/ln(n)? Yo lo que hice cuando resolvi este ejercicio fue sustituir de nuevo cuando llegue a 7^u y arme un quilombo enorme pero al final llegue al mismo resultado 
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Flor
PROFE
8 de octubre 8:40
@Manuel Hola Manuel! Exactooo, pero si lo querés enunciar así generalizado le agregaría siempre y cuando ese nn sea distinto de 11 (porque sino te quedaría ln⁡(1)=0\ln(1) = 0 en el denominador)

Y de hecho fijate que si lo llevas al caso específico n=en = e te queda

∫ex dx=exln⁡(e)=ex\int e^x \, dx = \frac{e^x}{\ln(e)} = e^x

que es el resultado que conocemos. 

Y por si te quedaste pensando, en el caso n=1n = 1 vos tendrías

∫1x dx\int 1^x \, dx

Pero 1 elevado a cualquier cosa, es 1... así que esto es simplemente

∫1 dx\int 1 \, dx ;)
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